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六年级 海峡杯 2025 中等
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填空题 哈利・波特制作加强型魔法药剂 “生死水”(这是一种效力很强的安眠药,由水仙根粉末和艾草浸液配成,“生死水” 的浓度是指水仙根粉末占整个药剂的百分比)。他首先在普通型 “生死水” 中加入一定量的艾草浸液,使 “生死水” 的浓度变为 \( 9% \) ;如果再加入同等量的水仙根粉末,这时 “生死水” 的浓度变为 \( 23% \) ;那么普通型 “生死水” 的浓度为_________ \( % \) 。
答案与解析
答案: 11
解析: 设普通型“生死水”中水仙根粉末的质量为 \( a \) ,艾草浸液的质量为 \( b \) ,则药剂总量为 \( a+b \) 。

第一步:加入一定量(设为 \( x \) )的艾草浸液后,浓度变为 \( 9% \) 。
此时水仙根粉末质量仍为 \( a \) ,药剂总量变为 \( a+b+x \) ,可得:
\( \frac{a}{a+b+x} = 0.09 \) ①

第二步:在上述基础上,再加入同等量(即 \( x \) )的水仙根粉末,浓度变为 \( 23% \) 。
此时水仙根粉末质量变为 \( a+x \) ,药剂总量变为 \( a+b+2x \) ,可得:
\( \frac{a+x}{a+b+2x} = 0.23 \) ②

由①得: \( a = 0.09(a+b+x) \Rightarrow a+b+x = \frac{a}{0.09} \)
代入②中分母: \( a+b+2x = (a+b+x) + x = \frac{a}{0.09} + x \)
则②式变为: \( \frac{a+x}{\frac{a}{0.09} + x} = 0.23 \)
\( a+x = 0.23(\frac{a}{0.09} + x) \)
\( a+x = \frac{0.23}{0.09}a + 0.23x \)
\( 0.77x = (\frac{23}{9} - 1)a = \frac{14}{9}a \)
\( x = \frac{14}{9 \times 0.77}a = \frac{14}{6.93}a = \frac{1400}{693}a = \frac{200}{99}a \)

普通型“生死水”浓度为 \( \frac{a}{a+b} \) 。
由①式 \( a+b+x = \frac{a}{0.09} = \frac{100}{9}a \) ,得:
\( a+b = \frac{100}{9}a - x = \frac{100}{9}a - \frac{200}{99}a = \frac{1100-200}{99}a = \frac{900}{99}a = \frac{100}{11}a \)
因此,普通型浓度为:
\( \frac{a}{\frac{100}{11}a} = \frac{11}{100} = 11% \)

故普通型“生死水”的浓度为 \( 11 \) %。
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