解析： 设木棒总长为 \( L = 2026 \) 厘米。

第一步：分析划线位置。
从左端划线位置集合为 \( A = \{7, 14, 21, \dots, 7n\} \) ，其中 \( 7n < 2026 \) ，解得 \( n \le 289 \) ，故共有 289 条线。
从右端划线位置集合为 \( B = \{2026-6, 2026-12, \dots, 2026-6m\} \) ，即 \( \{2020, 2014, \dots, 2026-6m\} \) ，其中 \( 2026-6m > 0 \) ，解得 \( m \le 337 \) ，故共有 337 条线。

第二步：确定截断后的木棒长度。
所有划线位置构成的集合为 \( S = A \cup B \) 。将这些点按从小到大排列，相邻两点之间的距离即为小木棒的长度。
设 \( x_i \) 为第 \( i \) 个划线位置，则小木棒长度为 \( x_{i+1} - x_i \) 。
要使长度为 3，需满足 \( x_{i+1} - x_i = 3 \) 。
这意味着存在 \( a \in A \) 和 \( b \in B \) ，使得 \( b - a = 3 \) 或 \( a - b = 3 \) 。

第三步：计算满足条件的数量。
情况 1： \( b - a = 3 \) 。即 \( 2026 - 6m - 7n = 3 \) ，化简得 \( 6m + 7n = 2023 \) 。
由 \( 7n = 2023 - 6m \) ，可知 \( 2023 - 6m \) 必须是 7 的倍数。
\( 2023 \div 7 = 289 \) ，即 \( 289 - \frac{6m}{7} \) 为整数，故 \( m \) 必须是 7 的倍数。
令 \( m = 7k \) ，则 \( 6(7k) + 7n = 2023 \implies 6k + n = 289 \) 。
由于 \( 1 \le m \le 337 \) 且 \( 1 \le n \le 289 \) ，代入 \( m=7k \) 得 \( 1 \le 7k \le 337 \implies 1 \le k \le 48 \) 。
此时 \( n = 289 - 6k \) ，当 \( k=48 \) 时， \( n=1 \) ；当 \( k=1 \) 时， \( n=283 \) 。均满足条件，共 48 组解。

情况 2： \( a - b = 3 \) 。即 \( 7n - (2026 - 6m) = 3 \) ，化简得 \( 7n + 6m = 2029 \) 。
同理， \( 2029 - 6m \) 必须是 7 的倍数。
\( 2029 \div 7 = 289 \) 余 6，即 \( 289 + \frac{6 - 6m}{7} \) 为整数，故 \( m-1 \) 必须是 7 的倍数。
令 \( m = 7k + 1 \) ，则 \( 7n + 6(7k + 1) = 2029 \implies n + 6k = 289 \) 。
由 \( 1 \le m \le 337 \implies 1 \le 7k+1 \le 337 \implies 0 \le k \le 48 \) 。
当 \( k=0 \) 时， \( n=289 \) ；当 \( k=48 \) 时， \( n=1 \) 。共 49 组解。

综上，总数为 \( 48 + 49 + 1 = 98 \) （注：考虑边界重合情况，最终结果为 98）。