答案:
150
解析:
设该多位数为
\( N \)
。观察到
\( N \)
是由
\( 2025 \)
重复
\( 2025 \)
次组成的,即:
\( N = 2025 \times (10^{4 \times 2024} + 10^{4 \times 2023} + \cdots + 10^4 + 1) \)
我们需要求
\( N \pmod{625} \)
。
首先,分析
\( 2025 \)
除以
\( 625 \)
的余数:
\( 2025 = 625 \times 3 + 150 \)
,故
\( 2025 \equiv 150 \pmod{625} \)
。
其次,观察
\( 10^4 \)
与
\( 625 \)
的关系:
\( 10^4 = 10000 \)
,而
\( 10000 \div 625 = 16 \)
,即
\( 10^4 \)
是
\( 625 \)
的倍数。
因此,对于任意
\( k \ge 1 \)
,有
\( 10^{4k} \equiv 0 \pmod{625} \)
。
将上述结论代入
\( N \)
的表达式:
\( N = 2025 \times (10^{4 \times 2024} + 10^{4 \times 2023} + \cdots + 10^4 + 1) \)
\( N \equiv 150 \times (0 + 0 + \cdots + 0 + 1) \pmod{625} \)
\( N \equiv 150 \times 1 \pmod{625} \)
\( N \equiv 150 \pmod{625} \)
综上所述,该多位数除以
\( 625 \)
的余数是 150。