解析： 设该多位数为 \( N \) 。观察到 \( N \) 是由 \( 2025 \) 重复 \( 2025 \) 次组成的，即：
\( N = 2025 \times (10^{4 \times 2024} + 10^{4 \times 2023} + \cdots + 10^4 + 1) \)

我们需要求 \( N \pmod{625} \) 。
首先，分析 \( 2025 \) 除以 \( 625 \) 的余数：
\( 2025 = 625 \times 3 + 150 \) ，故 \( 2025 \equiv 150 \pmod{625} \) 。

其次，观察 \( 10^4 \) 与 \( 625 \) 的关系：
\( 10^4 = 10000 \) ，而 \( 10000 \div 625 = 16 \) ，即 \( 10^4 \) 是 \( 625 \) 的倍数。
因此，对于任意 \( k \ge 1 \) ，有 \( 10^{4k} \equiv 0 \pmod{625} \) 。

将上述结论代入 \( N \) 的表达式：
\( N = 2025 \times (10^{4 \times 2024} + 10^{4 \times 2023} + \cdots + 10^4 + 1) \)
\( N \equiv 150 \times (0 + 0 + \cdots + 0 + 1) \pmod{625} \)
\( N \equiv 150 \times 1 \pmod{625} \)
\( N \equiv 150 \pmod{625} \)

综上所述，该多位数除以 \( 625 \) 的余数是 150。